Question

3．如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C，∠CBD=30°．
（1）证明：∠DBA=30°；
（2）若BC=$\sqrt{2}$，求AE．

Answer 1

分析 （1）DE是⊙O的直径，则∠BED+∠EDB=90°，又BC⊥DE，可得∠CBD=∠BED=30°，由于AB切⊙O于点B，可得∠DBA=∠BED，即可得出．
（2）由（1）知BD平分∠CBA，则$\frac{BA}{BC}=\frac{AD}{CD}$．由BC⊥DE，可得∠A=30°，再利用切割线定理得AB²=AD•AE，即可得出．

解答 （1）证明：∵DE是⊙O的直径，则∠BED+∠EDB=90°，
∵BC⊥DE，∴∠CBD+∠EDB=90°，即∠CBD=∠BED=30°，
∵AB切⊙O于点B，∴∠DBA=∠BED，即∠CBD=∠DBA=30°．
（2）解：由（1）知BD平分∠CBA，则$\frac{BA}{BC}=\frac{AD}{CD}$，
由BC⊥DE，∠CBD=∠DBA=30°，知∠A=30°，
∴$AB=2BC=2\sqrt{2}，AC=\sqrt{3}BC=\sqrt{6}$，
又$\frac{AD}{DC}=\frac{BA}{BC}=\frac{{2\sqrt{2}}}{{\sqrt{2}}}=2$，∴$AD=\frac{2}{3}AC=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$．
由切割线定理得AB²=AD•AE，
∴$AE=\frac{{A{B^2}}}{AD}=2\sqrt{6}$．

点评 本题考查了圆的性质、弦切角定理、切割线定理、角平分线的性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．