Question

12．在如图所示的四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=AB=BC=1，AD=2，E为PD的中点．
（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PDC；
（Ⅱ）求直线EC与平面PAC所成角的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出PA⊥DC，DC⊥AC，从而DC⊥平面PAC，由此能证明平面PAC⊥平面PDC．
（Ⅱ）取PC中点F，则EF∥DC，从而EF⊥平面PAC，∠ECF为直线EC与平面PAC所成的角，由此能求出直线EC与平面PAC所成角的正切值．

解答 证明：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DC，
又AC²+CD²=2+2=AD²，
∴DC⊥AC，
∵AC∩PA=A，
∴DC⊥平面PAC，又DC?平面PDC，
∴平面PAC⊥平面PDC．
解：（Ⅱ）取PC中点F，则EF∥DC，
由（Ⅰ）知DC⊥平面PAC，则EF⊥平面PAC，
∠ECF为直线EC与平面PAC所成的角
CF=$\frac{1}{2}$PC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，EF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴tan$∠ECF=\frac{EF}{FC}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
即直线EC与平面PAC所成角的正切值为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查线面所成角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．