Question

8．设△ABC是锐角三角形，三个内角A，B，C所对的边分别记为a，b，c，并且（sinB-sinC）（sinB+sinC）=sin（${\frac{π}{3}$-C）sin（${\frac{π}{3}$+C）．
（1）求角B的值；
（2）若$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{BA}$=12，b=2$\sqrt{7}$，求a，b（其中c＜a）．

Answer 1

分析 （1）由已知利用三角函数恒等变换的应用化简可得sin²B=$\frac{3}{4}$，进而可求sinB的值，利用特殊角的三角函数值即可得解B的值．
（2）$\overrightarrow{BC}$利用平面向量数量积的运算可求ac=24，利用余弦定理进而可求a+c=10，结合c＜a，联立即可解得a，b的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）由已知得，${sin^2}B=（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosC+\frac{1}{2}sinC}）•（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosC-\frac{1}{2}sinC}）+{sin^2}C=\frac{3}{4}（{{{cos}^2}C+{{sin}^2}C}）=\frac{3}{4}$，…（4分）
∴$sinB=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，…（5分）
∴$B=\frac{π}{3}$…（6分）
（2）$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{BA}$=accosB=12，
∴ac=24…（8分）
又b²=c²+a²-2accosB=（a+c）²-3ac，
∴a+c=10，…（10分）
∵c＜a，
∴c=4，a=6…12分

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，特殊角的三角函数值，平面向量数量积的运算，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．