Question

13．已知函数f（x）=x²+alnx．
（Ⅰ）当a=-2e时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若函数f（x）在[1，4]上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）首先求出f（x）的导数，f'（x）=2x-$\frac{2e}{x}$=$\frac{2（x-\sqrt{e}）（x+\sqrt{e}）}{x}$，根据导函数的零点求出f（x）的单调区间与最值；
（2）函数f（x）=x²+alnx为[1，4]上的单调减函数 可转换为：所以a≤-2x²在[1，4]上恒成立．

解答 解：（I）函数f（x）的定义域为（0，+∞）
当a=-2e时，f'（x）=2x-$\frac{2e}{x}$=$\frac{2（x-\sqrt{e}）（x+\sqrt{e}）}{x}$
令f'（x）=0，故导函数的零点为$\sqrt{e}$，
故f（x）在（0，$\sqrt{e}$）上单调递减，（$\sqrt{e}$，+∞）上单调递增；
∴f（x）的极小值为f（$\sqrt{e}$）=0，无极大值；
（II）由f（x）=x²+alnx，得f'（x）=2x+$\frac{a}{x}$
又函数f（x）=x²+alnx为[1，4]上的单调减函数，
则f'（x）≤0在[1，4]上恒成立．
所以a≤-2x²在[1，4]上恒成立，所以a的取值范围是（-∞，-32]．

点评 本题主要考查了函数的导数以及单调区间、恒成立问题，属中等题．