Question

已知函数f（x）=Asin（wx+φ）（A＞0，W＞0，|φ|＜

π

2

）的图象（如下图）所示，
（1）求函数f（x）的解析式；写出函数取得最小值时的x取值集合；
（2）求函数f（x）的单调增区间；
（3）若f（x）-2≤m≤f（x）+3在x∈[-

π

2

，0]上恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：综合题

分析：第（1）问根据图象易得A和周期，进而求出ω，φ值要代入一个点的坐标求解；
第（2）问根据正弦函数的单调区间求解；
第（3）要把恒成立问题转化成最大值最小值问题解决．

解答： 解：（1）结合给出的三角函数的形式与图象，可知A=2，

3

4

T=

11π

12

-

π

6

=

3π

4

，
由

2π

ω

=

3π

4

得，ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+φ），代入点（

π

6

，2）得2sin（2×

π

6

+φ）=2，
∴

π

3

+φ=

π

2

+2kπ，k∈Z．
 又∵|φ|＜

π

2

，∴Φ=

π

6

，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）；
当函数f（x）=2sin（2x+

π

6

）取得最小值时，2x+

π

6

=-

π

2

+2kπ，k∈Z．
解得x=

π

3

+kπ，k∈Z，
∴函数f（x）取得最小值时的x取值集合为{x|x=

π

3

+kπ，k∈Z}
（2）由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，解得：-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，k∈Z，
∴函数f（x）的单调增区间是[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，k∈Z．
（3）∵f（x）-2≤m≤f（x）+3在x∈[-

π

2

，0]上恒成立，
∴m要大于f（x）-2的最大值，要小于f（x）+3的最小值，
又∵函数f（x）=2sin（2x+

π

6

）在x∈[-

π

2

，0]上的最大值为1，最小值为-2，
∴f（x）-2的最大值为-1，f（x）+3的最小值为1，
∴-1≤m≤1．

点评：本题是三角函数的综合性的题目，考查了根据图象求解析式、正弦型函数的单调区间、最值的求法，考查了数形结合、转化与化归的数学思想．