题目内容
若a，b，c∈R+，abc=1．求证
+
+
≥
．
| 1 |
| a3(b+c) |
| 1 |
| b3(c+a) |
| 1 |
| c3(a+b) |
| 3 |
| 2 |
考点：综合法与分析法(选修）,基本不等式
专题：不等式的解法及应用
分析：本题涉及基本不等式，需要构造三元函数，经过特殊化处理后，转化为二元函数，再通过换元，得到一元函数，求出导函数研究最值，得到本题的解．
解答：
解：设三元函数f(a，b，c)=
+
+
，
当a=b=c=1时，f(a，b，c)=
≥
．原命题成立．
∵a，b，c∈R+，abc=1，
∴a、b、c中至少有一个不大于1．
不妨设b≤1．
f(a，b，c)-f(a，1，c)=
+
+
-[
+
+
]=
+
+
≥0
∴f（a，b，c）≥f（a，1，c）．
要证f(a，b，c)≥
，只要证f(a，1，c)≥
．
此时，ac=1，设a=
，c=q（q＞0）．
f(a，1，c)=
+
+
=
+
+
=
+
∵q5-1=（q+1）（q4-q3+q2-q+1）
∴f(q，1，c)=q2-q+1-
+
+
=(q+
)2-(q+
)+
-1
设t=q+
，g(t)=t2-t+
-1．
∵t≥2，
∴g′(t)=2t+1-
=
＞0，
∴g（t）在[2，+∞）单调递增．
∴g(t)≥g(2)=
．
故f(a，b，c)≥f(a，1，c)≥
．
原命题得证．
| 1 |
| a3(b+c) |
| 1 |
| b3(c+a) |
| 1 |
| c3(a+b) |
当a=b=c=1时，f(a，b，c)=
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∵a，b，c∈R+，abc=1，
∴a、b、c中至少有一个不大于1．
不妨设b≤1．
f(a，b，c)-f(a，1，c)=
| 1 |
| a3(b+c) |
| 1 |
| b3(c+a) |
| 1 |
| c3(a+b) |
| 1 |
| a3(1+c) |
| 1 |
| (c+a) |
| 1 |
| c3(a+1) |
| 1-b |
| a3(b+c)(1+c) |
| 1-b3 |
| b3(c+a) |
| 1-b |
| c3(a+b)(a+1) |
∴f（a，b，c）≥f（a，1，c）．
要证f(a，b，c)≥
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
此时，ac=1，设a=
| 1 |
| q |
f(a，1，c)=
| 1 | ||
(
|
| 1 | ||
|
| 1 | ||
q3(
|
| q3 |
| 1+q |
| 1 |
| q2(1+q) |
| 1 | ||
q+
|
| q5+1 |
| q2(1+q) |
| 1 | ||
q+
|
∵q5-1=（q+1）（q4-q3+q2-q+1）
∴f(q，1，c)=q2-q+1-
| 1 |
| q |
| 1 |
| q2 |
| 1 | ||
q+
|
=(q+
| 1 |
| q |
| 1 |
| q |
| 1 | ||
q+
|
设t=q+
| 1 |
| q |
| 1 |
| t |
∵t≥2，
∴g′(t)=2t+1-
| 1 |
| t2 |
| 2t3+t2-1 |
| t2 |
∴g（t）在[2，+∞）单调递增．
∴g(t)≥g(2)=
| 3 |
| 2 |
故f(a，b，c)≥f(a，1，c)≥
| 3 |
| 2 |
原命题得证．
点评：本题构造了三元函数，通过化归转化，最后得到了一元函数，利用导函数，求出最值，得到本题结论．本题思维要求高，运算难度大，属于难题．
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