Question

3．已知函数f（x）=$\frac{a•{2}^{x}+b+1}{{2}^{x}+1}$是定义域在R上的奇函数，且f（2）=$\frac{6}{5}$．
（1）求实数a、b的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明；
（3）解不等式：f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$（2x-2）]+f[log₂（1-$\frac{1}{2}$x）]≥0．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）定义域在R上的奇函数可得f（0）=0，f（2）=$\frac{6}{5}$即可求解实数a、b的值；
（2）利用定义证明单调性．
（3）利用函数的单调性和奇偶性即求解不等式．

解答 解：（1）由题意可知f（x）定义域在R上的奇函数可得f（0）=0，f（2）=$\frac{6}{5}$
即：$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=\frac{a+b+1}{2}=0}\\{f（2）=\frac{44a+b+1}{5}=\frac{6}{5}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-3}\end{array}\right.$
即实数a=2、b=-3
（2）由（1）f（x）=$\frac{2•{2}^{x}-2}{{2}^{x}+1}$=2-
函数f（x）在R上为增函数，
证明：在R上任x₁，x₂，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=2-$\frac{4}{{2}^{{x}_{1}}-1}$-（2-$\frac{4}{{2}^{{x}_{2}}-1}$）=$\frac{4（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$
∵x₁＜x₂，
∴$0＜{2}^{{x}_{1}}＜{2}^{{x}_{2}}$，
∴$\frac{4（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$＜0
即f（x₁）-f（x₂）＜0
∴函数f（x）在R上为增函数．
（3）不等式：f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$（2x-2）]+f[log₂（1-$\frac{1}{2}$x）]≥0．
等价转化为：f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$（2x-2）]≥-f[log₂（1-$\frac{1}{2}$x）]
∵f（x）定义域在R上的奇函数
∴f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$（2x-2）]≥f[log${\;}_{\frac{1}{2}}$（1-$\frac{1}{2}$x）]
又∵函数f（x）是R上的增函数，
∴log${\;}_{\frac{1}{2}}$（2x-2）≥log${\;}_{\frac{1}{2}}$（1-$\frac{1}{2}$x）
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-2＞0}\\{1-\frac{1}{2}x＞0}\\{2x-1≤1-\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{x＜2}\\{x≤\frac{6}{5}}\end{array}\right.$
∴原不等式的解集为{x|$1＜x≤\frac{6}{5}$}．

点评 本题主要考查函数的奇偶性，单调性的证明及运用，对数的计算能力，属于中档题．