题目内容

已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x．
（1）求f（
π
4
）值；
（2）求f（x）的最小值正周期；
（3）求f（x）的单调递增区间．
考点：三角函数的周期性及其求法,三角函数中的恒等变换应用
专题：三角函数的求值
分析：（ I ）根据函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x，直接求得f（
π
4
）值．
（ II ）化简f（x）=sin2x+2sinxcosx+cos2x+cos2x 为
2
sin（2x+
π
4
）+1，从而求得f（x）的最小正周期．
（Ⅲ）令2kπ-
π
2
≤2x+
π
4
≤2kπ+
π
2
，求得x的范围，可得f（x）的单调递增区间．
解答： 解：（ I ） f(
π
4
)=(
2
2
+
2
2
)2+cos
π
2
=2．
（ II ） 因为f（x）=sin2x+2sinxcosx+cos2x+cos2x，
所以，f（x）=1+sin2x+cos2x=
2
sin（2x+
π
4
）+1，
所以f（x）的最小正周期为 T=
2π
|?|
=
2π
2
=π．
（Ⅲ）令2kπ-
π
2
≤2x+
π
4
≤2kπ+
π
2
，
所以kπ-
3π
8
≤x≤kπ+
π
8
，
所以f（x）的单调递增区间为(kπ-
3π
8
，kπ+
π
8
)，k∈Z．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，三角函数的周期性和单调性，属于中档题．
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1
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1
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1
2
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2
2
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1
2
≤m≤0，则0≤l≤4．
其中所有正确命题的序号是
 
．

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