Question

5．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（b＞0），若对任意实数x都有f（x）≥0，则$\frac{f（1）}{b}$的最小值是2．

Answer 1

分析 根据条件可以得出$\frac{ac}{{b}^{2}}≥\frac{1}{4}$，且a，c＞0，而$\frac{f（1）}{b}=\frac{a}{b}+\frac{c}{b}+1$，这样根据基本不等式以及不等式的性质即可得出$\frac{f（1）}{b}$的最小值．

解答 解：根据条件知，△=b²-4ac≤0，且a＞0；
∴b²≤4ac；
$\frac{ac}{{b}^{2}}≥\frac{1}{4}$；
∴c＞0，又b＞0；
∴$\frac{f（1）}{b}=\frac{a+b+c}{b}=\frac{a}{b}+\frac{c}{b}+1≥2\sqrt{\frac{ac}{{b}^{2}}}+1$$≥2\sqrt{\frac{1}{4}}+1=2$；
∴$\frac{f（1）}{b}$的最小值为2．
故答案为：2．

点评 考查当二次函数f（x）=ax²+bx+c恒大于0时，便可得到△≤0，a＞0，不等式的性质，以及基本不等式的运用，注意应用基本不等式所要具备的条件．