Question

15．已知平面α的一个法向量$\overrightarrow n=（0，-\frac{1}{2}，-\sqrt{2}）$，A∈α，P∉α，且$\overrightarrow{PA}=（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}，\sqrt{2}）$，则直线PA与平面α所成的角为$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 设直线PA与平面α所成的角为θ，则sinθ=|cosα|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}|}{|\overline{n}||\overrightarrow{PA}|}$，即可得出．

解答 解：设直线PA与平面α所成的角为θ，则sinθ=|cosα|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}|}{|\overline{n}||\overrightarrow{PA}|}$=$\frac{|0-\frac{1}{4}-2|}{\sqrt{0+\frac{1}{4}+2}\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}+2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴直线PA与平面α所成的角为$\frac{π}{3}$．
故答案为：$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查了线面角的计算公式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．