Question

设直线l过椭圆

x2

4

+y²=1的右焦点，与椭圆相交于A、B两点，O是坐标原点，当△OAB的面积最大时，求直线l的方程．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：椭圆

x2

4

+y²=1的右焦点为（

3

，0），则设l：x=my+

3

，代入椭圆

x2

4

+y²=1，整理，利用韦达定理，根据S_△OAB=

1

2

•

3

•|y₁-y₂|，再利用换元法，结合基本不等式，即可得出结论．

解答： 解：椭圆

x2

4

+y²=1的右焦点为（

3

，0），则设l：x=my+

3

，
代入椭圆

x2

4

+y²=1，整理可得（m²+4）y²+2

3

my-1=0，
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则y₁+y₂=-

2 3 m

m2+4

，y₁y₂=-

1

m2+4

，
∴|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

4 m2+1

m2+4

，
∴S_△OAB=

1

2

•

3

•|y₁-y₂|=

3

2

•

4 m2+1

m2+4

令

m2+1

=t（t≥1），则S_△OAB=2

3

•

t

t2+3

=2

3

•

1

t+ 3 t

≤1，
当且仅当t=

3

t

，即t=

3

时，△OAB的面积最大，
此时m=±

2

，直线l的方程为x=±

2

y+

3

．

点评：本题考查椭圆的性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，正确表示△OAB的面积是关键．