Question

已知函数f（x）=lnx-x²+1，求：
（1）f′（1）的值；
（2）函数g（x）=

f(x)

的值域．

Answer 1

考点：导数的运算,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数的运算法则可得f′（x）即可；
（2）利用导数研究函数 f（x）的单调性极值最大值即可得出．

解答： 解：（1）∵f′(x)=

1

x

-2x，
∴f′（1）=1-2=-1．
（2）由f′(x)=

1

x

-2x=

1-2x2

x

=

-2(x+ 2 2 )(x- 2 2 )

x

0，x＞0，解得x=

2

2

．
∴当x＞

2

2

时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当0＜x＜

2

2

时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．
因此当x=

2

2

时，函数f（x）取得最大值，f(

2

2

)=-

1

2

ln2-

1

2

+1=

1

2

(1-ln2)＞0．
∴g(x)max=

f( 2 2 )

=

2(1-ln2)

2

．
要使函数g（x）有意义，则f（x）≥0，即g（x）≥0．
∴函数g（x）=

f(x)

的值域是[0，

2(1-ln2)

2

]．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值最值，属于中档题．