Question

6．（Ⅰ）求和：aⁿ+a^n-1b+…+ab^n-1+bⁿ（ab≠0）；
（Ⅱ）已知a_n=2n，b_n=3ⁿ，将数列{a_n}的各项依次作为数列{c_n}的奇数项，将数列b{a_n}的各项依次作为数列{c_n}的偶数项，求数列{c_n}的通项公式；
（Ⅲ）数列{a_n}满足a₁=2，$\sum_{i=1}^n{i{a_i}=4-\frac{n+2}{{{2^{n-1}}}}}$（n≥2），求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分a=b和a≠b，借助于等差数列和等比数列的求和公式求解；
（Ⅱ）由题意，数列{c_n}的奇数项构成以2为首项，以2为公差的等差数列；偶数项构成以3为首项，以3为公比的等比数列．然后分别写出通项公式；
（Ⅲ）由已知递推式写出（n-1）时的递推式，两式作差得答案．

解答 解：（Ⅰ）当a=b时，
aⁿ+a^n-1b+…+ab^n-1+bⁿ=（n+1）aⁿ；
当a≠b时，
aⁿ+a^n-1b+…+ab^n-1+bⁿ（ab≠0）
=$\frac{{a}^{n}[1-（\frac{b}{a}）^{n+1}]}{1-\frac{b}{a}}=\frac{{a}^{n+1}-{b}^{n+1}}{a-b}$；
（Ⅱ）由题意，数列{c_n}的奇数项构成以2为首项，以2为公差的等差数列；
偶数项构成以3为首项，以3为公比的等比数列．
则{c_n}的通项公式为：${c}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{4n-2，（n为奇数）}\\{{3}^{2n}，（n为偶数）}\end{array}\right.$；
（Ⅲ）由${a_1}=2，\sum_{i=1}^n{i{a_i}=4-\frac{n+2}{{{2^{n-1}}}}}（n≥2）$，
得：$1•{a}_{1}+2•{a}_{2}+3•{a}_{3}+…n{a}_{n}=4-\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$，
∴1•a₁+2•a₂+3•a₃+…+（n-1）a_n-1=$4-\frac{n+1}{{2}^{n-2}}$（n≥2）．
则$n{a}_{n}=4-\frac{n+2}{{2}^{n-1}}-4+\frac{n+1}{{2}^{n-2}}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
∴${a}_{n}=\frac{1}{{2}^{n-1}}$（n≥2），
验证a₁=2不适合上式，
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{\frac{1}{{2}^{n-1}}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比数列的前n项和公式，训练了作差法求数列的通项公式，是中档题．