Question

17．已知命题P：x₁，x₂是方程x²-mx-1=0的两个实根，且不等式a²+4a-3≤|x₁-x₂|对任意m∈R恒成立；命题q：不等式ax²+2x-1＞0有解，若命题p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 化简命题p，q；由p∨q为真命题，p∧q为假命题知p与q有且仅有一个为真．从而得出a的取值范围．

解答 解：∵x₁，x₂是方程x²-mx-1=0的两个实根，
∴x₁+x₂=m，x₁•x₂=-1，
|x₁-x₂|=$\sqrt{{m}^{2}+4}$，
∴当m∈R时，|x₁-x₂|_min=2．
由不等式a²+4a-3≤|x₁-x₂|对任意m∈R恒成立，
得：a²+4a-5≤0，
∴-5≤a≤1；
∴命题p为真命题时-5≤a≤1．
命题p为假命题时a＞1或a＜-5；
命题q：不等式ax²+2x-1＞0有解，
①当a＞0时，显然有解，
②当a=0时，2x-1＞0有解，
③当a＜0时，∵ax²+2x-1＞0有解，
∴△=4+4a＞0，∴-1＜a＜0；
从而命题p：不等式ax²+2x-1＞0有解时a＞-1
∴命题q是真命题时a＞-1，命题q是假命题时a≤-1．
∵p∨q真，p∧q假，
∴p与q有且仅有一个为真．
（1）当命题p是真命题且命题q是假命题时-5≤a≤-1；
（2）当命题p是假命题且命题q是真命题时a＞1；
综上所述：a的取值范围为：-5≤a≤-1或a＞1．

点评 本题考查了复合命题真假性的判断、方程的解的判断、韦达定理及分类讨论的思想，属于中档题．