Question

下列命题中，真命题是（　　）

• A、存在一个△ABC，使a²=b²+c²-3bccosA（a，b，c是三边长，a是内角A的对边）
• B、?x∈（1，+∞），log_0.5x＞0
• C、幂函数 f（x）=（m-1）x^m-3在定义域上是减函数
• D、a＞1，b＞1是ab＞1的必要条件

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：A，△ABC中，利用余弦定理，结合a²=b²+c²-3bccosA即可判断其正误；
B，利用对数函数的单调性质可判断B的正误；
C，通过对m取值范围的讨论，利用函数的性质判断即可；
D，利用充分、必要条件的概念判断即可．

解答： 解：A，在△ABC，由余弦定理知，a²=b²+c²-2bccosA，若存在一个△ABC，使a²=b²+c²-3bccosA，
则b²+c²-2bccosA=b²+c²-3bccosA，
∴cosA=0，
在△ABC中，当A=

π

2

时，a²=b²+c²-3bccosA=a²=b²+c²成立，故A正确；
B，?x∈（1，+∞），log_0.5x＜0，故B错误；
C，当

m-1＜0 m-3＜0

，即m＜1时，不妨取m=0，f（x）=-x^-3在（-∞，0），（0，+∞）上单调递增；
同理当m＞3时，不妨令m=4，f（x）=3x在（-∞，+∞）上单调递增；
当1＜m＜3时，不妨取m=2，f（x）=

1

x

在（-∞，0），（0，+∞）上单调递减，但在其定义域上并不是减函数；
当m=1与m=3时，均不满足题意；
故C错误；
D，a＞1，b＞1⇒ab＞1，即充分性成立，反之不成立，如a=

1

2

，b=4，满足ab=2＞1，但不能⇒a＞1，b＞1，即必要性不成立，故D错误；
故选：A．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查余弦定理、充分、必要条件的概念判断、对数函数与幂函数的性质，属于中档题．