Question

求下列函数的值域：
（1）f（x）=2x²-3x-1；
（2）f（x）=

x2+2x

x2-x

；
（3）f（x）=x+

x+1

；
（4）f（x）=2x-

x+2

；
（5）f（x）=

x2-1

x2+1

；
（6）f（x）=5-x+

3x-1

．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由二次函数的图象与性质，先求出函数的最值，即得出值域；
（2）分离常数，利用二次函数的判别式求出值域；
（3）配方法，配成以

x+1

为自变量的二次函数，从而求出函数的值域；
（4）配方法，配成以

x+2

为自变量的二次函数，从而求出函数的值域；
（5）分离常数法，把函数f（x）化为1-

2

x2+1

，求出

2

x2+1

的范围即得f（x）的值域；
（6）换元法，设t=

3x-1

，求二次函数在闭区间上的最值即得值域．

解答： 解：（1）∵f（x）=2x²-3x-1是二次函数，图象是抛物线，且开口向上，
∴f（x）有最小值是

4×2×(-1)-(-3)2

4×2

=-

17

8

，
∴f（x）的值域是[-

17

8

，+∞）；
（2）∵y=f（x）=

x2+2x

x2-x

=

x2-x+3x

x2-x

=1+

3x

x2-x

，
∵x≠0，∴y≠1；
∴（y-1）（x²-x）=3x，
即（y-1）x²-（y+2）x=0，
判别式[-（y+2）]²≥0恒成立，
∴函数f（x）的值域是{y|y≠1}；
（3）∵f（x）=x+

x+1

=x+1+

x+1

-1
=(

x+1

+

1

2

)2-

5

4

≥

1

4

-

5

4

=-1，
∴f（x）的值域是[-1，+∞）；
（4）∵f（x）=2x-

x+2

=2（x+2）-4-

x+2

=2(

x+2

-

1

4

)2-4-

1

8

≥2×0-

33

8

=-

33

8

，
∴f（x）的值域是[-

33

8

，+∞）；
（5）∵f（x）=

x2-1

x2+1

=

x2+1-2

x2+1

=1-

2

x2+1

，
又x²+1≥1，
∴0＜

2

x2+1

≤2，
∴-1≤1-

2

x2+1

＜1，
∴f（x）的值域是[-1，1）；
（6）令t=

3x-1

，且t≥0；
∴x=

1

3

（t²+1），
∴y=5-

1

3

（t²+1）+t
=-

1

3

t²+t+

14

3

=-

1

3

(t-

3

2

)2+

3

4

+

14

3

≤-

1

3

×0+

65

12

=

65

12

，
∴f（x）的值域是（-∞，

65

12

]．

点评：本题考查了求函数值域的常用方法，即函数的最值法、配方法、换元法、分离常数法等，是综合题．