题目内容
给定椭圆C：
+
=1（a＞b＞0），若椭圆C的一个焦点为F（
，0），其短轴上的一个端点到F的距离为
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点Q满足
=
且
•
=0，其中N为椭圆的下顶点，求直线在y轴上截距的取值范围．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 2 |
| 3 |
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点Q满足
| AQ |
| QB |
| NQ |
| AB |
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（Ⅰ）根据椭圆C的一个焦点为F（
，0），其短轴上的一个端点到F的距离为
，求出几何量，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+t．代入椭圆方程，消去y得（1+3k2）x2+6ktx+3t2-3=0．由△＞0，知t2＜1+3k2，设A（x1，y1），B（x2，y2），则则x1+x2=-
，x1x2=
，再结合
=
且
•
=0，即可求出截距t的取值范围．
| 2 |
| 3 |
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+t．代入椭圆方程，消去y得（1+3k2）x2+6ktx+3t2-3=0．由△＞0，知t2＜1+3k2，设A（x1，y1），B（x2，y2），则则x1+x2=-
| 6kt |
| 1+3k2 |
| 3k2-3 |
| 1+3k2 |
| AQ |
| QB |
| NQ |
| AB |
解答：
解：（Ⅰ）∵椭圆C的一个焦点为F（
，0），其短轴上的一个端点到F的距离为
．
∴c=
，a=
，
∴b=1，
∴椭圆C的方程
+y2=1；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+t．
代入椭圆方程，消去y得（1+3k2）x2+6ktx+3t2-3=0．
∵直线l与椭圆交于不同两点A、B，
∴△=（6kt）2-4（1+3k2）（3t2-3）＞0，
即t2＜1+3k2①
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-
，x1x2=
．
由
=
，得Q为线段AB的中点，
∴xQ=
=-
，yQ=
．
∵
•
=0，
∴kAB•kQN=-1，即
•k=-1．
化简得1+3k2=2t，代入①得t2＜2t，解得0＜t＜2．
又由2t=1+3k2＞1，∴t＞
．
∴直线l在y轴上的截距t的取值范围是（
，2）．
| 2 |
| 3 |
∴c=
| 2 |
| 3 |
∴b=1，
∴椭圆C的方程
| x2 |
| 3 |
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+t．
代入椭圆方程，消去y得（1+3k2）x2+6ktx+3t2-3=0．
∵直线l与椭圆交于不同两点A、B，
∴△=（6kt）2-4（1+3k2）（3t2-3）＞0，
即t2＜1+3k2①
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-
| 6kt |
| 1+3k2 |
| 3k2-3 |
| 1+3k2 |
由
| AQ |
| QB |
∴xQ=
| x1+x2 |
| 2 |
| 3kt |
| 1+3k2 |
| t |
| 1+3k2 |
∵
| NQ |
| AB |
∴kAB•kQN=-1，即
| ||
-
|
化简得1+3k2=2t，代入①得t2＜2t，解得0＜t＜2．
又由2t=1+3k2＞1，∴t＞
| 1 |
| 2 |
∴直线l在y轴上的截距t的取值范围是（
| 1 |
| 2 |
点评：本题考查椭圆方程的求法和截距t的取值范围．解题时要认真审题，利用椭圆性质注意合理地进行等价转化．
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