Question

12．如图在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AB=BC=$\frac{1}{2}$AP=2，D是AP的中点，E，G分别为PC，CB的中点，将△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD，F为线段PD上一动点．当二面角G-EF-D的大小为$\frac{π}{4}$时，求FG与平面PBC所成角的余弦值．

Answer 1

分析 由题意可知，AD⊥DC，AD⊥PD，DC⊥PD，以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴距离空间直角坐标系，利用空间向量结合二面角G-EF-D的大小为$\frac{π}{4}$，求出F得位置可得F的坐标，进一步求出FG与平面PBC所成角的余弦值．

解答 解：由题意可知，AD⊥DC，AD⊥PD，DC⊥PD，以D为原点，
分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴距离空间直角坐标系，
∵AB=BC=$\frac{1}{2}$AP=2，且E，G分别为PC，CB的中点，
∴G（1，2，0），C（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），设F（0，0，a），
∴$\overrightarrow{GF}$=（-1，-2，a），$\overrightarrow{GE}$=（-1，-1，1），
设平面EFG的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则有$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{GE}=-x-y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{GF}=-x-2y+az=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（2-a，a-1，1）．
又平面EFD的一个法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
∴|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞|=$\frac{|2-a|}{\sqrt{（2-a）^{2}+（a-1）^{2}+1}×1}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得a=1，∴$\overrightarrow{GF}$=（-1，-2，1），
设平面PBC的法向量$\overrightarrow{r}$=（x，y，z），
∵$\overrightarrow{PC}$=（0，2，-2），$\overrightarrow{BC}$=（-2，0，0），
则有$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{r}•\overrightarrow{PC}=2y-2z=0}\\{\overrightarrow{r}•\overrightarrow{BC}=-2x=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{r}$=（0，1，1）．
设FG与平面PBC所成角为θ，
则有sinθ=|cos＜$\overrightarrow{GF}，\overrightarrow{r}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{FG}•\overrightarrow{r}|}{|\overrightarrow{FG}|•|\overrightarrow{r}|}$=$\frac{1}{\sqrt{6}•\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴cosθ=$\sqrt{1-si{n}^{2}θ}=\frac{\sqrt{33}}{6}$．
∴FG与平面PBC所成角的余弦值为$\frac{{\sqrt{33}}}{6}$．

点评 本题考查直线与平面所成角的余弦值的求法，注意向量法的合理运用，是中档题．