Question

4．已知数列{a_n}是公差为d的等差数列，在{a_n}的每相邻两项之间插入这两项的算术平均值，得到新数列{a_n（1）}，这样的操作叫做该数列的1次“A”扩展，连续m次“A”扩展，得到新数列{a_n（m）}．例如：数列1，2，3第1次“A”扩展后得到数列1，$\frac{3}{2}$，2，$\frac{5}{2}$，3；第2次“A”扩展后得到数列1，$\frac{5}{4}$，$\frac{3}{2}$，$\frac{7}{4}$，2，$\frac{9}{4}$，$\frac{5}{2}$，$\frac{11}{4}$，3．
（1）求证：{a_n（m）}为等差数列，并求其公差d_m；
（2）已知等差数列{a_n}共有n项，且a₁=1，d=1，{a_n（m）}的所有项的和为S_n（m），求使S_n（n²）-n²＞2017，成立的n的取值集合．

Answer 1

分析 （1）根据等差中项的定义得出结论，根据等差数列的通项公式即可得出d_m；
（2）根据（1）的结论代入求和公式得出S_n（n²）-n²，利用单调性得出n的范围．

解答 解：（1）由题意可知a_n（m）=$\frac{{a}_{n-1}（m）+{a}_{n+1}（m）}{2}$，
∴{a_n（m）}为等差数列．
经过m次A扩展后，在a_n和a_n+1之间共插入的数据个数为：1+2+4+…+2^m-1=2^m-1，
∴a₁（m）=a₁，a${\;}_{{2}^{m}+1}$（m）=a₂，
∴a${\;}_{{2}^{m}+1}$（m）=a₁（m）+2^md_m，即a₂=a₁+2^md_m，
∴d_m=$\frac{{a}_{2}-{a}_{1}}{{2}^{m}}$=$\frac{d}{{2}^{m}}$．
（2）由（1）可知经过n²次A扩展后，{a_n（n²）}的项数为n+（n-1）•（2${\;}^{{n}^{2}}$-1）=n•2${\;}^{{n}^{2}}$-2${\;}^{{n}^{2}}$+1，
∴S_n（n²）=$\frac{{a}_{1}+{a}_{n}}{2}$×（n•2${\;}^{{n}^{2}}$-2${\;}^{{n}^{2}}$+1）=$\frac{n•{2}^{{n}^{2}}-{2}^{{n}^{2}}+1}{2}$（n+1），
∴S_n（n²）-n²=2${\;}^{{n}^{2}}$^-1（n²-1）+$\frac{1}{2}$（n+1）-n²（n≥3），
设f（n）=2${\;}^{{n}^{2}}$^-1（n²-1）+$\frac{1}{2}$（n+1）-n²，显然f（n）为增函数，
∵f（3）=2041＞2017，
∴n≥3．

点评 本题考查了等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．