Question

17．已知奇函数y=f（x），x∈R，a=${∫}_{-2}^{2}$[f（x）+$\frac{3}{8}$x²]dx，则二项式（$\frac{x}{2}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$）⁹的展开式的常数项为（　　）

• A． -$\frac{21}{2}$
• B． -$\frac{5}{4}$
• C． -1
• D． -$\frac{15}{8}$

Answer 1

分析 利用定积分的定义求出a的值，再利用展开式的通项公式求出常数项．

解答 解：奇函数y=f（x），x∈R，
∴a=${∫}_{-2}^{2}$[f（x）+$\frac{3}{8}$x²]dx
=${∫}_{-2}^{2}$f（x）dx+${∫}_{-2}^{2}$$\frac{3}{8}$x²dx
=0+$\frac{1}{8}$x³${|}_{-2}^{2}$
=2；
∴（$\frac{x}{2}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$）⁹展开式的通项公式为
T_r+1=${C}_{9}^{r}$•${（\frac{x}{2}）}^{9-r}$•${（-\frac{2}{{x}^{2}}）}^{r}$=（-2）^r•${（\frac{1}{2}）}^{9-r}$•${C}_{9}^{r}$•x^9-3r，
令9-3r=0，解得r=3；
∴展开式的常数项为
T₄=（-2）³•${（\frac{1}{2}）}^{6}$•${C}_{9}^{3}$=-$\frac{21}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查了求定积分与二项式展开式的常数项问题，是中档题．