Question

3．已知数列{a_n}满足${a_1}=\frac{1}{k}$，k≥2，k∈N^*，[a_n]表示不超过a_n的最大整数（如[1.6]=1），记b_n=[a_n]，数列{b_n}的前n项和为T_n．
①若数列{a_n}是公差为1的等差数列，则T₄=6；
②若数列{a_n}是公比为k+1的等比数列，则T_n=$\frac{1}{{k}^{2}}$[（1+k）ⁿ-nk-1]．

Answer 1

分析 ①根据数列{a_n}是公差为1的等差数列，写出a_n的通项公式，求出b_n，计算它的前4项和T₄；
②根据数列{a_n}是公比为k+1的等比数列，写出通项公式a_n，计算数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：①∵数列{a_n}满足${a_1}=\frac{1}{k}$，k≥2，k∈N^*，
[a_n]表示不超过a_n的最大整数b_n=[a_n]，数列{b_n}的前n项和为T_n．
数列{a_n}是公差为1的等差数列，
∴${a}_{n}=\frac{1}{k}+（n-1）×1$=n+$\frac{1}{k}-1$，
b_n=[a_n]=n-1，
∴T₄=b₁+b₂+b₃+b₄=0+1+2+3=6．
②∵数列{a_n}是公比为k+1的等比数列，
a₁=$\frac{1}{k}$，k≥2，
∴a_n=$\frac{1}{k}$•（k+1）^n-1
=$\frac{1}{k}$•（k^n-1+${C}_{n-1}^{1}$•k^n-2+${C}_{n-1}^{2}$•k^n-3+…+${C}_{n-1}^{k-1}$•k+${C}_{n-1}^{n-1}$），且b_n=[a_n]，
∴数列{b_n}的前n项和为：
T_n=0+1+（k+2）+（k²+3k+3）+…+（k^n-2+${C}_{n-1}^{1}$•k^n-3+${C}_{n-1}^{2}$•k^n-4+…+${C}_{n-1}^{k-1}$）
=（1+2+3+…+n-1）+（k+${C}_{3}^{2}$k+${C}_{4}^{2}$k+…+${C}_{n-1}^{2}$k）+（k²+${C}_{4}^{3}$k²+${C}_{5}^{3}$k²+…+${C}_{n-1}^{3}$k²）+…+k^n-2
=$\frac{n（n-1）}{2}$+${C}_{n}^{3}$k+${C}_{n}^{4}$k²+…+${C}_{n}^{n}$k^n-2
=${C}_{n}^{2}$+${C}_{n}^{3}$k+${C}_{n}^{4}$k²+…+${C}_{n}^{n}$k^n-2
=$\frac{1}{{k}^{2}}$（${C}_{n}^{2}$k²+${C}_{n}^{3}$k³+${C}_{n}^{4}$k⁴+…+${C}_{n}^{n}$kⁿ）
=$\frac{1}{{k}^{2}}$[（1+k）ⁿ-nk-1]．
故答案为：①6，②$\frac{1}{{k}^{2}}$[（1+k）ⁿ-nk-1]．

点评 本题考查了等差与等比数列的应用问题，也考查了推理与计算能力，是难题．