Question

10．已知函数f（x）=lg（x-1）+$\frac{1}{\sqrt{32-{2}^{x}}}$的定义域是集合A，函数g（x）=-4^x+2^x+1+3的值域是集合B．
（1）求集合A，B；
（2）设集合C={x|2m＜x＜m+2}，若C⊆（A∩B），求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意得$\left\{\begin{array}{l}{x-1＞0}\\{32-{2}^{x}＞0}\end{array}\right.$，从而求集合A，配方法得g（x）=-4^x+2^x+1+3=-（2^x-1）²+4，从而求集合B；
（2）化简A∩B=（1，4]；从而讨论集合C以确定实数m的取值范围．

解答 解：（1）由题意得，
$\left\{\begin{array}{l}{x-1＞0}\\{32-{2}^{x}＞0}\end{array}\right.$，
解得，1＜x＜5；
故A=（1，5）；
g（x）=-4^x+2^x+1+3=-（2^x-1）²+4，
故B=（-∞，4]．
（2）由（1）知，A∩B=（1，4]；
若C=∅，即2m≥m+2，即m≥2时，
C⊆（A∩B）成立；
若m＜2，由C⊆（A∩B）知，
1≤2m＜m+2≤4，
解得，$\frac{1}{2}$≤m＜2；
综上可得，m≥$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了函数的定义域与值域的求法及集合的化简与运算，同时考查了集合的包含关系的应用．