Question

18．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线l与直线l′：x+$\sqrt{3}$y=0垂直，垂足为O，过C的右焦点F分别作l，l′的垂线，垂足分别为N，P，若四边形ONFP的面积为$\sqrt{3}$，则双曲线C的方程为${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$．

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线的斜率为$\sqrt{3}$，则$\frac{b}{a}=\sqrt{3}$，四边ONFP的面积为$\left|{FP}\right|•\left|{FN}\right|=\frac{c}{2}•b=\sqrt{3}$，结合a²+b²=c²，求出a²=1，b²=3，可得双曲线的标准方程．

解答 解：因为双曲线的一条渐近线l与直线$l'：x+\sqrt{3}y=0$垂直，
所以双曲线的渐近线的斜率为$\sqrt{3}$，则$\frac{b}{a}=\sqrt{3}$．①
由题意知双曲线的焦点在x轴上，可设双曲线的一个焦点坐标为F（c，0），
根据点到直线的距离公式，得$\left|{FP}\right|=\frac{\left|c\right|}{{\sqrt{{1^2}+{{（{\sqrt{3}}）}^2}}}}=\frac{c}{2}$，
又$\left|{FN}\right|=\frac{{\left|{bc}\right|}}{{\sqrt{{b^2}+{{（{-a}）}^2}}}}=b$，
所以四边ONFP的面积为$\left|{FP}\right|•\left|{FN}\right|=\frac{c}{2}•b=\sqrt{3}$．②
结合a²+b²=c²，③
联立①②③，解得a²=1，b²=3．
所以双曲线的标准方程为${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$．
故答案为：${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$．

点评 本题是对双曲线的渐近线与方程，考查四边ONFP的面积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．