Question

20．已知ab=$\frac{1}{4}$，a，b∈（0，1），则$\frac{1}{1-a}$+$\frac{2}{1-b}$的最小值为4+$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 先根据条件消掉b，即将b=$\frac{1}{4a}$代入原式得$\frac{1}{1-a}$+$\frac{8a}{4a-1}$，再裂项并用贴“1”法，最后运用基本不等式求其最小值．

解答 解：因为ab=$\frac{1}{4}$，所以，b=$\frac{1}{4a}$，
因此，$\frac{1}{1-a}$+$\frac{2}{1-b}$=$\frac{1}{1-a}$+$\frac{2}{1-\frac{1}{4a}}$
=$\frac{1}{1-a}$+$\frac{8a}{4a-1}$=$\frac{1}{1-a}$+$\frac{2（4a-1）+2}{4a-1}$
=$\frac{1}{1-a}$+$\frac{2}{4a-1}$+2=2（$\frac{1}{4a-1}$+$\frac{2}{4-4a}$）+2
=$\frac{2}{3}$（$\frac{1}{4a-1}$+$\frac{2}{4-4a}$）[（4a-1）+（4-4a）]+2
=$\frac{2}{3}$[1+2+$\frac{4-4a}{4a-1}$+$\frac{2（4a-1）}{4-4a}$]+2
≥$\frac{2}{3}$（3+2$\sqrt{2}$）+2=4+$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
当且仅当：a=$\frac{1+2\sqrt{2}}{4+2\sqrt{2}}$，取“=”，
即，$\frac{1}{1-a}$+$\frac{2}{1-b}$的最小值为：4+$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
故答案为：4+$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用，涉及消元，裂项，凑配，贴1等恒等变形，以及取等条件的确定，属于难题．