Question

1．已知x₁、x₂是函数f（x）=x²+mx+t的两个零点，其中常数m、t∈Z，记$\sum_{i=0}^n{x^i}={x^0}+{x^1}+…+{x^n}$，设${T_n}=\sum_{r=0}^n{x_1^{n-r}x_2^r}$（n∈N^*）．
（1）用m、t表示T₁、T₂；
（2）求证：T₅=-mT₄-tT₃；
（3）求证：对任意的n∈N^*，T_n∈Z．

Answer 1

分析 （1）依题意知x₁+x₂=-m，x₁x₂=t，利用${T_n}=\sum_{r=0}^n{x_1^{n-r}x_2^r}$（n∈N^*），易知T₁=x₁+x₂=-m，T₂=x12+x₁x₂+x22=（x1+x2）2-x₁x₂=m²-t；
（2）由T_k=$\sum_{r=0}^{k}$${{x}_{1}}^{k-r}$${{x}_{2}}^{r}$，可得T₅=x₁T₄+x25=-mT₄-tT₃；
（3）利用数学归纳法证明即可．

解答 解：（1）∵x₁、x₂是函数f（x）=x²+mx+t的两个零点，
∴x₁+x₂=-m，x₁x₂=t，
∵${T_n}=\sum_{r=0}^n{x_1^{n-r}x_2^r}$，
∴T₁=x₁+x₂=-m，
T₂=x₁²+x₁x₂+x₂²=（x₁+x₂）²-x₁x₂=m²-t；
（2）证明：T₅=x₁$\sum_{r=0}^{4}$${{x}_{1}}^{4-r}$${{x}_{2}}^{r}$+${{x}_{2}}^{5}$=x₁T₄+${{x}_{2}}^{5}$，
∴T₅=x₁T₄+${{x}_{2}}^{5}$，
x₂T₄=x₁x₂T₃+${{x}_{2}}^{5}$，
故T₅=x₁T₄+（x₂T₄-x₁x₂T₃）=-mT₄-tT₃；
（3）证明：①当n=1，2时，由（1）知，T_k是整数，结论成立；
②假设当n=k-1，n=k（k≥2）时，结论成立，即T_k-1，T_k都是整数，
∵T_k=$\sum_{r=0}^{k}$${{x}_{1}}^{k-r}$${{x}_{2}}^{r}$，T_k+1=$\sum_{r=0}^{k+1}$${{x}_{1}}^{k+1-r}$${{x}_{2}}^{r}$，
∴同理可得，T_k+1=-mT_k-tT_k-1，
∵T_k-1，T_k都是整数，且m、t∈Z，
∴T_k+1也是整数；
综上所述，对任意的n∈N^*，T_n∈Z．

点评 本题考查综合法证明不等式，突出考查数学归纳法的应用，考查抽象思维、逻辑思维的综合应用，考查推理证明的能力，属于难题．