Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+Φ）（A＞0，ω＞0，|Φ|＜

π

2

）的图象经过最高点A（

π

6

，2），与最高点A相邻的一个零点为（-

π

12

，0）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的解析式；
（3）若α∈（0，

π

2

），且满足f（α）-f（α-

π

6

）=1，求α．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）依题意，

T

4

=

π

6

-（-

π

12

），即可求得f（x）的最小正周期；
（2）由周期公式可求得ω，f（x）=2sin（2x+Φ）过点（-

π

12

，0），|Φ|＜

π

2

，可求得Φ，从而可得函数y=f（x）的解析式；
（3）由已知展开化简可得cos2α=

1

2

，由角的范围即可求得α的值．

解答： （1）由题意，A=2，

T

4

=

π

6

-（-

π

12

）=

π

4

，
∴T=π，
（2）∵ω=

2π

T

=

2π

π

=2，
∴f（x）=2sin（2x+Φ），将（-

π

12

，0）代入，得sin（-

π

6

+Φ）=0，
∴故Φ=kπ+

π

6

，k∈Z
∵|Φ|＜

π

2

，
∴Φ=

π

6

，
∴函数y=f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+

π

6

）．
（3）∵f（α）-f（α-

π

6

）=1
∴2sin（2α+

π

6

）-2sin[2（α-

π

6

）+

π

6

]=1，展开后化简可得：cos2α=

1

2

．
∵α∈（0，

π

2

），
∴2α∈（0，π），
∴解得：2α=

π

3

，即有α=

π

6

．

点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+Φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，属于基础题．