Question

记C_i^r为从i个不同的元素中取出r个元素的所有组合的个数．随机变量ξ表示满足C_i^r≤

1

2

i²的二元数组（r，i）中的r，其中i∈{2，3，4，5，6，7，8，9，10}，每一个C_i^r（r=0，1，2，…，i）都等可能出现．求Eξ．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：由已知得当r=0，1，2，i-2，i-1，i时，

C

r i

≤

1

2

i2成立，当r=3，…，i-3时，

C

r i

＞

1

2

i2，由此能求出Eξ．

解答： 解：∵

C

r i

≤

1

2

i2，
当i≥2时，

C

0 i

=

C

i i

=1≤

1

2

i2，

C

1 i

=

C

i-1 i

=i≤

1

2

i2，

C

2 i

=

C

i-2 i

=

i(i-1)

2

≤

1

2

i2，

C

3 5

≤

52

2

，
∴当2≤i≤5，i∈N*时，

C

r i

≤

1

2

i2的解为r=0，1，…，i．…（3分）
当6≤i≤10，i∈N*，

C

r+1 i

≥

C

r i

?r≤

i-1

2

，
由

C

3 i

=

i(i-1)(i-2)

6

≤

1

2

i2?i=3，4，5可知：
当r=0，1，2，i-2，i-1，i时，

C

r i

≤

1

2

i2成立，
当r=3，…，i-3时，

C

r i

≥

C

3 i

≥

1

2

i2（等号不同时成立），即

C

r i

＞

1

2

i2．…（6分）
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
P（ξ）	3 16	3 16	3 16	1 16	1 16	1 16	1 16	1 16	1 16	1 24	1 48

…（8分）
∴Eξ=(0+1+2)×

3

16

+(3+4+5+6+7+8)×

1

16

+9×

1

24

+10×

1

48

=

77

24

．…（10分）

点评：本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．