Question

已知函数f（x²+1）=x（x≥0）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断f（x）的单调性，并用定义证明．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,函数单调性的判断与证明

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）利用换元法求函数的解析式；
（2）判断f（x）=

x-1

在[1，+∞）上是增函数，五步证明函数的单调性．

解答： 解：（1）令x²+1=t，t≥1，
则x=

t2-1

，
故f（t）=

t2-1

，
故f（x）=

x-1

，（x≥1）；
（2）f（x）=

x-1

在[1，+∞）上是增函数，
证明如下，
任取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂；
则f（x₁）-f（x₂）=

x1-1

-

x2-1

=

x1-x2

x1-1 + x2-1

；
∵x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
故f（x）在[1，+∞）上是增函数．

点评：本题考查了函数的解析式的求法及函数的单调性的判断与证明，属于基础题．