Question

（理）已知 

lim

x→2

x2+cx+2

x-2

=a，且函数 f（x）=ae^bx-cx有大于0的极点值，则实数b的取值范围是（　　）

• A、（-∞，-3）
• B、（-3，+∞）
• C、（-∞，-

  1

  3

  ）
• D、（-

  1

  3

  ，+∞）

Answer 1

考点：极限及其运算

专题：导数的综合应用

分析：

lim

x→2

x2+cx+2

x-2

=a，可设x²+cx+2=（x-2）（x-1），解得c=-3，利用 

lim

x→2

x2+cx+2

x-2

=

lim

x→2

(x-1)=a，可得a．可得函数 f（x）=ae^bx-cx=e^bx+3x，由于函数f（x）有大于0的极点值，则f′（x）=be^bx+3=0有大于0的实数根．解出即可．

解答： 解：∵

lim

x→2

x2+cx+2

x-2

=a，
可设x²+cx+2=（x-2）（x-1），解得c=-3，
∴

lim

x→2

x2+cx+2

x-2

=

lim

x→2

(x-1)=1=a，
∴函数 f（x）=ae^bx-cx=e^bx+3x，
∴f′（x）=be^bx+3．
∵函数f（x）有大于0的极点值，
∴令f′（x）=0，则be^bx+3=0由大于0的实数根．
∵e^bx＞0．
∴b=

-3

ebx

＜-3，
∴实数b的取值范围是（-∞，-3）．
故选：A．

点评：本题考查了函数极限的运算性质、利用导数研究函数的单调性极值、指数函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题．