Question

多面体EF-ABCD中，ABCD为正方形，BE⊥平面ABCD，CF⊥平面ABCD，AB=CF=2BE．
（Ⅰ）求证：DE⊥AC；
（Ⅱ）求平面EFD与平面ABCD所成的锐二面角．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的性质

专题：证明题

分析：（Ⅰ）根据BE⊥平面ABCD，可知BD为DE为在底面ABCD上的射影，在正方形ABCD中，AC⊥BD，故可利用三垂线定理即得结论；
（Ⅱ）先作出二面角F-DG-C的平面角，延长FE与CB，交于点G，连接DG，则DG为平面EFD与平面ABCD的交线，过C作CH⊥DG交DG于H，连接FH，则∠FHC为二面角F-DG-C的平面角，从而可求锐二面角．

解答：  （Ⅰ）证明：连接BD
∵BE⊥平面ABCD
∴BD为DE为在底面ABCD上的射影
∴在正方形ABCD中，AC⊥BD…
∴DE⊥AC…4分
（Ⅱ）解：延长FE与CB，交于点G，连接DG，则DG为平面EFD与平面ABCD的交线，
过C作CH⊥DG交DG于H，连接FH
∵FC⊥平面ABCD，
∴CH为FH在面ABCD上的射影
∴FH⊥DG
∴∠FHC为二面角F-DG-C的平面角                  8分
设BE=1，在△DCG中，CH=

2×4

4+16

=

4

5

 在△FCH中，FC=2，
∴tan∠FHC=

2 5

4

=

5

2

∴所求锐二面角为arctan

5

2

…12分

点评：本题以多面体为载体，考查线面垂直，考查三垂线定理，考查面面角，解题的关键是正确运用三垂线定理，作出面面角．