Question

已知α为锐角，且tanα=

2

-1．
（1）设

m

=（x，1），

n

=（2tan2α，sin（2α+

π

4

）），若

m

⊥

n

，求x的值；
（2）在△ABC中，若∠A=2α，∠C=

π

3

，BC=2，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：计算题

分析：（1）利用二倍角的正切公式求得tan2α 的值，可得2α=

π

4

，再由

m

•

n

=0求得x的值．
（2）由（1）得∠A=

π

4

，而∠C=

π

3

，根据正弦定理求得AB的值，可得sinB的值，从而求得△ABC的面积．

解答： 解：（1）∵tanα=

2

-1，tan2α=

2tanα

1-tan2α

=

2( 2 -1)

1- ( 2 -1)2

=1．…（2分）
又∵α为锐角，∴2α=

π

4

，α=

π

8

，

n

=（2，1）．…（4分） 
∵

m

⊥

n

，∴

m

•

n

=0，即 2x+1=0，x=-

1

2

． …（6分）
（2）由（1）得∠A=

π

4

，而∠C=

π

3

，根据正弦定理得

AB

sin π 3

=

2

sin π 4

，…（8分）
求得AB=

6

，…（10分）
∴sinB=sin(A+C)=

6 + 2

4

，…（12分）
从而求得△ABC的面积S=

1

2

AB•BC•sinB=

3+ 3

2

．…（14分）

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，向量的数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，属于中档题．