Question

（理）数列{a_n}中，a1=

1

2

，an+1=sin(

π

2

+an)，n∈N^*．
求证：（1）0＜a_n＜1；
（2）a_n＜a_n+1；
（3）1-an＜

π

4

(1-an-1)．（n≥2）
（参考公式：sinα+sinβ=2sin

α+β

2

cos

α-β

2

）

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列递推式

专题：证明题

分析：（1）、（2）前两小问可一起进行证明．先看当n=1时，可求得a₂，则可验证结论成立；假设n=k时结论成立，根据0＜a_k＜a_k+1＜1，推断出0＜

π

2

a_k＜

π

2

a_k+1＜

π

2

．进而可知0＜sin（

π

2

a_k）＜sin（

π

2

a_k+1）＜1，即0＜a_k+1＜a_k+2＜1，结论成立，最后综合可知（1）（2）成立．
（3）由于1＜1+a _n-1＜2，结合（1）（2）中的结论得出

π

4

（1+a₁）的取值范围，从而1-a _n=sin

π

2

-sin（

π

2

a _n-1）=2cos[

π

4

（1+a _n-1）]sin[

π

4

（1-a _n-1）]＜sin[

π

4

（1-a _n-1）]，根据0＜[

π

4

（1-a _n-1）]＜

π

2

，结合三角函数的性质sinθ＜θ即可证得结论．

解答： 证明：（1）（2）①n=1时，a₁=

1

2

，
由于条件an+1=sin(

π

2

•an)，
∴a₂=sin（

π

2

a₁）=sin

π

4

=

2

2

．
∴0＜a₁＜a₂＜1，故结论成立．
②假设n=k时结论成立，
即0＜a_k＜a_k+1＜1，
则0＜

π

2

a_k＜

π

2

a_k+1＜

π

2

．
∴0＜sin（

π

2

a_k）＜sin（

π

2

a_k+1）＜1，
即0＜a_k+1＜a_k+2＜1，
也就是说n=k+1时，结论也成立．
由①②可知，对一切n∈N^*均有0＜a_n＜a_n+1＜1．
（3）∵1＜1+a _n-1＜2，
∴

π

4

＜

π

4

（1+a _n-1）＜

π

2

，
又a_n＜a_n+1，
∴1+a _n-1≥1+a₁，（n≥2）
∴

π

4

（1+a _n-1）≥

π

4

（1+a₁）=

3π

8

＞

π

3

，
∴1-a _n=sin

π

2

-sin（

π

2

a _n-1）=2cos[

π

4

（1+a _n-1）]sin[

π

4

（1-a _n-1）]＜sin[

π

4

（1-a _n-1）]
∵0＜[

π

4

（1-a _n-1）]＜

π

2

，又θ是锐角时，sinθ＜θ，
∴sin[

π

4

（1-a _n-1）]＜

π

4

（1-a _n-1）
∴1-an＜

π

4

(1-an-1)．（n≥2）．

点评：本题主要考查了数列递推式、数列与不等式的综合、不等式证明等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．