Question

已知数列{a_n}各项为正数，前n项和Sn=

1

2

an(an+1)
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b1=1，bn+1=bn+3an，求数列{b_n}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，令cn=

an

1+2bn

，数列{c_n}前n项和为T_n，求证：Tn＜

3

4

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等差数列的通项公式,数列的求和

专题：综合题

分析：（1）当n=1时，a1=S1=

1

2

a1(a1+1)，得a₁=1．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

1

2

an(an+1)-

1

2

an-1(an-1+1)，得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，由此能求出a_n=n．
（2）由数列{b_n}满足b1=1，bn+1=bn+3an，知bn+1-bn=3an=3n，由此利用累加法能够求出数列{b_n}的通项公式．
（3）由cn=

an

1+2bn

=

n

3n

，知Tn=

1

3

+

2

32

+

3

33

+…+

n

3n

，由此利用错位相减法能够求出T_n，进而证明Tn＜

3

4

．

解答： 解：（1）当n=1时，a1=S1=

1

2

a1(a1+1)，
∴a12=a1，
∵a₁＞0，∴a₁=1．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

1

2

an(an+1)-

1

2

an-1(an-1+1)，
化简，得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=1，
故数列{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴a_n=n．
（2）∵数列{b_n}满足b1=1，bn+1=bn+3an，
∴bn+1-bn=3an=3n，
∴b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）
=1+3+3²+…+3^n-1
=

1×(1-3n)

1-3

=

1

2

(3n-1)．
（3）∵cn=

an

1+2bn

=

n

3n

，
∴Tn=

1

3

+

2

32

+

3

33

+…+

n

3n

，
∴

1

3

Tn=

1

3 2

+

2

3 3

+

3

3 4

+…+

n

3 n+1

，
则Tn-

1

3

Tn=

1

3

+

1

3 2

+

1

3 3

+…+

1

3 n

-

n

3n-1

=

1 3 ×(1- 1 3 n )

1- 1 3

-

n

3 n-1

=

1

2

-

2n+3

2×3n+1

，
∴Tn=

3

4

-

2n+3

4×3n

＜

3

4

．

点评：本题考查数列通项公式的求法和前n项和的证明，解题时要认真审题，注意累加法、裂项求和法的灵活运用．