Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1．则B₁C₁与平面AB₁C所成的角的正切值为

 

．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：空间角

分析：以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz，利用向量法能求出直线B₁C₁与平面AB₁C所成的角的正切值．

解答： 解：如图，以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz，
A（1，0，0），C（0，1，0），B₁（1，1，1），C₁（0，1，1），

AC

=（-1，1，0），

AB1

=（1，0，1），

B1C1

=（1，0，0），
设平面AB₁C的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • AC =-x+y=0 n • AB1 =x+z=0

，
取x=1，得

n

=（1，1，-1），
设B₁C₁与平面AB₁C所成的角为θ，
sinθ=|cos＜

B1C1

，

n

＞|=|

1

3

|=

3

3

，
cosθ=

1- 1 3

=

6

3

，
∴tanθ=

3 3

6 3

=

2

2

．
故答案为：

2

2

．

点评：本题考查直线与平面所成角的正切值的求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．