Question

关于函数f（x）=4sin（2x+

π

3

）（x∈R），有下列命题：
①由f（x₁）=f（x₂）=0可得x₁-x₂必是π的整数倍；
②y=f（x）的表达式可改写为f（x）=4cos（2x-

π

6

）；
③y=f（x）的图象关于点（-

π

6

，0）对称；
④y=f（x）的图象关于直线x=-

2π

3

对称．
以上命题成立的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：①由f（x）=4sin（2x+

π

3

）的周期为π，可知当f（x₁）=f（x₂）=0时，x₁-x₂必是

π

2

的整数倍，可判断②的正误；
②利用诱导公式可知f（x）=4sin（2x+

π

3

）=4cos[

π

2

-（2x+

π

3

）]=4cos（

π

6

-2x）=4cos（2x-

π

6

），从而可判断③的正误；
③f（-

π

6

）=0可判断③的正误；
④利用f（-

2π

3

）=0可判断④的正误

解答： 解：①∵f（x）=4sin（2x+

π

3

）的周期T=

2π

2

=π，
∴由f（x₁）=f（x₂）=0可得x₁-x₂必是

π

2

的整数倍，故①错误；
②∵f（x）=4sin（2x+

π

3

）=4cos[

π

2

-（2x+

π

3

）]=4cos（

π

6

-2x）=4cos（2x-

π

6

），
∴y=f（x）的表达式可改写为f（x）=4cos（2x-

π

6

），即②正确；
③∵f（-

π

6

）=4sin[2×（-

π

6

）+

π

3

]=0，∴y=f（x）的图象关于点（-

π

6

，0）对称，即③正确；
④∵f（-

2π

3

）=4sin[2×（-

2π

3

）+

π

3

]=0，不是最值，∴y=f（x）的图象不关于直线x=-

2π

3

对称，即④错误；
综上所述，以上命题成立的序号是②③．
故答案为：②③

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查正弦函数的周期性、对称性的综合应用，属于中档题．