Question

已知圆M：（x+cosθ）²+（y-sinθ）²=1，直线l：y=kx，下面四个命题：
①对任意实数k与θ，直线l和圆M相切；
②对任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点；
③对任意实数θ，一定存在实数k，使得直线l与和圆M相切；
④对任意实数k，一定存在实数θ，使得直线l与和圆M相切．
其中真命题的代号是

 

（写出所有真命题的代号）．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系,圆的标准方程

专题：计算题,直线与圆

分析：根据圆的方程找出圆心坐标和圆的半径r，然后求出圆心到已知直线的距离d，利用两角和的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，与半径r比较大小，即可得到直线与圆的位置关系，得到正确答案即可．

解答： 解：圆心坐标为（-cosθ，sinθ），圆的半径为1
圆心到直线的距离d=

|-kcosθ-sinθ|

1+k2

=|sin（θ+φ）|≤1（其中sinφ=-

k

1+k2

，cosφ=-

1

1+k2

）
所以直线l与圆M有公共点，且对于任意实数k，必存在实数θ，使直线l与圆M相切，
故答案为：②④

点评：本题要求学生会利用圆心到直线的距离与半径比较大小来判断直线与圆的位置关系，灵活运用点到直线的距离公式及两角和的正弦函数公式化简求值，是一道中档题．