Question

在数列{a_n}中，S_n+1=4a_n+2，a₁=1．
（1）设b_n=a_n+1-2a_n，求证数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知中S_n+1=4a_n+2，易得S_n+2=4a_n+1+2，两式相减可得a_n+2=4a_n+1-4a_n．结合b_n=a_n+1-2a_n，易求出数列{b_n}相邻两项之比为定值，再结合a₁=1，即可得到数列{b_n}是首项，进而得到结论；
（2）由（1）可得bn=an+1-2an=3•2n-1，所以

an+1

2n+1

，即可证明数列{

an

2n

}是首项为

1

2

，公差为

3

4

的等差数列；
求出通项

an

2n

，即可求得数列{a_n}的通项公式．

解答： 解：（1）由题意，S_n+1=4a_n+2，S_n+2=4a_n+1+2，两式相减，得S_n+2-S_n+1=4（a_n+1-a_n）
即a_n+2=4a_n+1-4a_n．
∴a_n+2-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n）
∵b_n=a_n+1-2a_n
∴b_n+1=2b_n（n∈N^*），
q=

bn+1

bn

=2，
又由题设，得1+a₂=4+2=6，即a₂=5
b₁=a₂-2a₁=3，
∴数列{b_n}是首项为3，公比为2的等比数列，其通项公式为b_n=3•2^n-1．
（2）由（1）可得bn=an+1-2an=3•2n-1，所以

an+1

2n+1

-

an

2n

=

3

4

，
∴数列{

an

2n

}是首项为

1

2

，公差为

3

4

的等差数列；
∴

an

2n

=

1

2

+（n-1）

3

4

，
∴an=(3n-1)2n^-2．

点评：本题考查了等差关系的确定，等比关系的确定，数列的求和，要判断一个数列是否为等差（比）数列，我们常用定义法，判断数列连续两项之间的差（比）是否为定值．本题利用构造新数列求通项．