题目内容

设函数f（x）=
1
3
x3+ax2-3x-1（a＜0），且曲线y=f（x）斜率最小的切线与直线4x+y=6平行．求：
（Ⅰ）a的值；
（Ⅱ）函数f（x）的单调区间．
考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程
专题：计算题,导数的综合应用
分析：（1）求导数并令其最小值为-4，解出a即可，（2）由导数的正负确定函数的单调区间．
解答： 解：（1）f'（x）=x2+2ax-3=（x+a）2-a2-3，
则-a2-3=-4，即 a2=1，
∵a＜0，∴a=-1．
（2）由（1）知：f'（x）=x2-2x-3=（x+1）（x-3），
由f'（x）＞0得x＜-1或x＞3，由f'（x）＜0得-1＜x＜3，
故函数f（x）的增区间为（-∞，-1）和（3，+∞）；减区间为（-1，3）．
点评：本题考查了导数的综合应用，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
（1）已知tanα=3，计算
4sinα-2cosα
5cosα+3sinα
 的值；
（2）已知f（α）=
sin(5π-α)•cos(α+
3π
2
)•cos(π+α)
sin(α-
3π
2
)•cos(α+
π
2
)•tan(α-3π)
化简f（α）．
给出如图程序．（其中x满足：0＜x＜12）程序：
（1）该程序用函数关系式怎样表达．
（2）画出这个程序的程序框图．
在数列{an}中，Sn+1=4an+2，a1=1．
（1）设bn=an+1-2an，求证数列{bn}是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式．
设z，
.
z
为共轭复数，且，（z+
.
z
）2-3z
.
z
i=4-12i求z，
.
z
的值．
有以下命题：
①命题“存在x∈R，x2-x-2≥0”的否定是：“不存在x∈R，x2-x-2＜0”；
②线性回归直线
∧
y
=
∧
b
x+
∧
a
恒过样本中心（
.
x
，
y
），且至少过一个样本点．
③函数f（x）=e-x-ex图象的切线斜率的最大值是-2；
④函数f（x）=x
1
3
-(
1
2
)x的零点在区间（
1
3
，
1
2
）内；
其中正确命题的序号为
 
．
平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A（-3，4），且法向量为
n
=（1，-2）的直线（点法式）方程为：1×（x+3）+（-2）×（y-4）=0，化简得x-2y+11=0．类比以上方法，在空间直角坐标系o-xyz中，经过点A（1，2，3）且法向量为
n
=（1，-2，1）的平面的方程为
 
．（化简后用关于x，y，z的一般式方程表示）
由y2=4x与直线y=2x-4所围成图形的面积为
 
．
arccos（-
3
2
）=
 
．

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