Question

过椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的右焦点F₂的直线交椭圆于于M，N两点，令|F₂M|=m，|F₂N|=n，则

mn

m+n

=

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），若过F₂的直线存在斜率，设为k，所以这条直线的方程为y=k（x-1），联立椭圆的方程可以消去y，得到关于x的方程，根据韦达定理即可求出x₁+x₂，x₁x₂．根据椭圆上的点到右焦点的距离和它到右准线的距离的比为离心率e，即可用x₁，x₂表示m，n，带入

mn

m+n

中用上韦达定理得出的x₁+x₂，x₁x₂即可求出

mn

m+n

．若这条直线不存在斜率，可求得方程为x=1，带入椭圆方程即可求得y值，从而得到M，N两点的坐标，从而可以求出m，n带入

mn

m+n

即可．

解答： 解：若过F₂的直线存在斜率时，设斜率为k，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则该直线的方程为y=k（x-1），
联立椭圆方程：

x2

4

+

y2

3

=1得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0；
x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

；
该椭圆的右准线方程为：x=4，e=

1

2

，点M，N到准线的距离分别为：4-x₁，4-x₂；
∴根据椭圆上的点到右焦点的距离与它到右准线的距离的比为e：

1

2

，可以得到：
m=

1

2

（4-x₁），n=

1

2

（4-x₂）；
∴

mn

m+n

=

1 4 (4-x1)(4-x2)

1 2 [8-(x1+x2)]

=

x1x2-4(x1+x2)+16

16-2(x1+x2)

=

4k2-12 3+4k2 - 32k2 3+4k2 +16

16- 16k2 3+4k2

=

36k2+36

48k2+48

=

3

4

；
若过F₂的直线不存在斜率时，该直线方程为：x=1，带入椭圆方程得到y=±

3

2

，不妨设M（1，

3

2

），则N(1，-

3

2

)；
∴m=

3

2

，n=

3

2

，∴

mn

m+n

=

9 4

3

=

3

4

；
综上得

mn

m+n

=

3

4

．
故答案为：

3

4

．

点评：考查椭圆的标准方程，焦点，准线，离心率，直线的方程以及韦达定理．