Question

13．过椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的右焦点F的直线l交椭圆于A，B两点，M是AB的中点．
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）过点M且与直线l垂直的直线和坐标轴分别交于D，E两点，记△MDF的面积为S₁，△ODE的面积为S₂，试问：是否存在直线l，使得S₁=S₂？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）：（1）设点M的坐标为（x，y），A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）；过椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的右焦点F（1，0）的直线l为：y=k（x-1），联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}{+y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y，整理得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-1=0，求出动点M 坐标，消去参数k，即可得到  动点M的轨迹方程   
（2）假设存在直线AB，使得 S₁=S₂，确定G，D的坐标，利用△GFD∽△OED，即可得到结论．

解答 解：（1）设点M的坐标为（x，y），A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）；
过椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的右焦点F（1，0）的直线l为：y=k（x-1），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}{+y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
消去y，整理得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-1=0，
∴x₁+x₂=$\frac{{4k}^{2}}{{2k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{{2k}^{2}-1}{{2k}^{2}+1}$；
∴x=$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$=$\frac{{2k}^{2}}{{2k}^{2}+1}$，
y=k（x-1）=k（$\frac{{2k}^{2}}{{2k}^{2}+1}$-1）=$\frac{-k}{{2k}^{2}+1}$；
∴$\frac{x}{y}$=-2k，∴k=$\frac{x}{-2y}$；
代入l的方程，得y=$\frac{x}{-2y}$（x-1），化简得x²-x+2y²=0，
整理得4${（x-\frac{1}{2}）}^{2}$+8y²=1；
∴点M的轨迹方程为4${（x-\frac{1}{2}）}^{2}$+8y²=1；
（2）假设存在直线AB，使得 S₁=S₂，显然直线AB不能与x，y轴垂直．
由（1）可得M（$\frac{{2k}^{2}}{{2k}^{2}+1}$，$\frac{-k}{{2k}^{2}+1}$），设D（m，0）
因为DG⊥AB，所以k_MD×k=-1，即$\frac{\frac{-k}{2{k}^{2}+1}-0}{\frac{2{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}-m}×k=-1$⇒m=$\frac{{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$
∵Rt△MDF和Rt△ODE相似，∴若S₁=S₂，则|MD|=|OD|
$（\frac{{2k}^{2}}{2{k}^{2}+1}-\frac{{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}）^{2}+（\frac{-k}{2{k}^{2}+1}）^{2}$=（$（\frac{{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}）^{2}$⇒4k⁴+3k²+1=0
因为此方程无解，所以不存在直线AB，使得 S₁=S₂

点评 本题考查了椭圆与圆的标准方程方程及其性质、向量坐标运算性质、向量垂直与数量积的关系、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．