Question

1．已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）=2g（x）+$\frac{x-4}{{x}^{2}+1}$，则下列结论中正确的序号是①④
①f（$\frac{1}{x}$）=f（x）；
②f（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）上单调递减；
③g（x）在（0，+∞）上单调递增；
④若f（$\frac{1}{{x}^{2}+1}$）+f（4x-4x²-2）≥0，则x∈（-∞，$\frac{1}{3}$]∪[1，+∞）

Answer 1

分析 求出函数的解析式，再进行验证，即可得出结论．

解答 解：由题意，-f（x）=2g（x）+$\frac{-x-4}{{x}^{2}+1}$，∴f（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$，g（x）=$\frac{2}{{x}^{2}+1}$；
①f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{\frac{2}{x}}{\frac{1}{{x}^{2}}+1}$=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$=f（x），正确；
②∵f（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$，∴f′（x）=$\frac{2（1-{x}^{2}）}{（{x}^{2}+1）^{2}}$，f（x）在（1，+∞）上单调递减，不正确；
③g′（x）=$\frac{-4x}{（{x}^{2}+1）^{2}}$，∴g（x）在（0，+∞）上单调递减，不正确；
④利用①f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{\frac{2}{x}}{\frac{1}{{x}^{2}}+1}$=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$=f（x），知f（$\frac{1}{{x}^{2}+1}$）=f（x²+1），故f（$\frac{1}{{x}^{2}+1}$）+f（4x-4x²-2）≥0?f（x²+1）≥f（4x²-4x+2）=f（（2x-1）²+1），再利用f（x）在（1，+∞）上单调递减，得x²+1≤-4x+4x²+2，∴3x²-4x+1≥0，∴x∈（-∞，$\frac{1}{3}$]∪[1，+∞），正确．
故答案为①④．

点评 本题考查函数的单调性与奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．