Question

8．在△ABC中，∠A=$\frac{π}{3}$，O为平面内一点．且|$\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}$|，M为劣弧$\widehat{BC}$上一动点，且$\overrightarrow{OM}=p\overrightarrow{OB}+q\overrightarrow{OC}$．则p+q的取值范围为[1，2]．

Answer 1

分析 根据题意画出图形，结合图形，设外接圆的半径为r，对$\overrightarrow{OM}$=p$\overrightarrow{OB}$+q$\overrightarrow{OC}$两边平方，建立p、q的解析式，利用基本不等式求出p+q的取值范围．

解答 解：如图所示，△ABC中，∠A=$\frac{π}{3}$，∴∠BOC=$\frac{2π}{3}$；
设|$\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}$=r，则O为△ABC外接圆圆心；


∵$\overrightarrow{OM}$=p$\overrightarrow{OB}$+q$\overrightarrow{OC}$，
∴${|\overrightarrow{OM}|}^{2}$=${（p\overrightarrow{OB}+q\overrightarrow{OC}）}^{2}$=r²，
即p²r²+q²r²+2pqr²cos$\frac{2π}{3}$=r²，
∴p²+q²-pq=1，
∴（p+q）²=3pq+1；
又M为劣弧AC上一动点，
∴0≤p≤1，0≤q≤1，
∴p+q≥2$\sqrt{pq}$，
∴pq≤${（\frac{p+q}{2}）}^{2}$=$\frac{{（p+q）}^{2}}{4}$，
∴1≤（p+q）²≤$\frac{3}{4}$（p+q）²+1，
解得1≤（p+q）²≤4，
∴1≤p+q≤2；
即p+q的取值范围是[1，2]．
故答案为：[1，2]．

点评 本题考查了平面向量的应用问题和圆周角与圆心角的关系以及基本不等式的应用问题，是综合题．