Question

5．在数列{a_n}中，设f（n）=a_n，且f（n）满足f（n+1）-2f（n）=2ⁿ（n∈N^*），且a₁=1．
（1）设b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$，证明数列{b_n}为等差数列；
（2）求数列{3a_n-1}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）根据数列的递推公式可得{b_n}是首项为1，公差为1的等差数列．
（2）先化简3a_n-1=3n•2^n-1-1，利用利用错位相减求和法求解．

解答 解：（1）证明：由已知得${a_{n+1}}=2{a_n}+{2^n}$，
得${b_{n+1}}=\frac{{{a_{n+1}}}}{2^n}=\frac{{2{a_n}+{2^n}}}{2^n}=\frac{a_n}{{{2^{n-1}}}}+1={b_n}+1$，
∴b_n+1-b_n=1，
又a₁=1，
∴b₁=1，
∴{b_n}是首项为1，公差为1的等差数列．
（2）：由（Ⅰ）知，${b_n}=\frac{a_n}{{{2^{n-1}}}}=n$，
∴${a_n}=n•{2^{n-1}}$，$3{a_n}-1=3n•{2^{n-1}}-1$．  
∴${S_n}=3×1×{2^0}+3×2×{2^1}+3×3×{2^2}+…+3（n-1）×{2^{n-2}}+3n×{2^{n-1}}-n$，
两边乘以2，得$2{S_n}=3×1×{2^1}+3×2×{2^2}+…+3（n-1）×{2^{n-1}}+3n×{2^n}-2n$，
两式相减得$-{S_n}=3×（1+{2^1}+{2^2}+…+{2^{n-1}}-n×{2^n}）+n$=3×（2ⁿ-1-n×2ⁿ）-n=3（1-n）2ⁿ-3+n，
∴${S_n}=3（n-1）×{2^n}+3-n$．

点评 本题考查数列的通项与求和，解题时要注意错位相减法的合理运用，考查学生的计算能力，属于中档题．