Question

设函数f（x）=lnx-ax（a∈R）（e=2.718 28…是自然对数的底数）．
（Ⅰ）判断f（x）的单调性；
（Ⅱ）当f（x）＜0在（0，+∞）上恒成立时，求a的取值范围；
（Ⅲ）证明：当x∈（0，+∞）时，

x+1

ex

(1+x)

1

x

＜e．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数恒成立问题

专题：证明题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）首先求出函数f（x）的导数，对a讨论，分a≤0，a＞0，求出单调区间；
（Ⅱ）应用参数分离得a＞

lnx

x

，求出

lnx

x

在（0，+∞）上的最大值，只要a大于最大值即可；
（Ⅲ）可通过分析法证明，令x+1=t，再两边取以e为底的对数，转化为（Ⅰ）的函数，求出最大值-1，得证．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx-ax，
∴f′（x）=

1

x

-a，
又函数f（x）的定义域为（0，+∞），
当a≤0时，f′（x）＞0，此时f（x）在（0，+∞）上是增函数；
当a＞0时，x∈（0，

1

a

）时，f′（x）＞0，此时f（x）在（0，

1

a

）上是增函数；
x∈（

1

a

，+∞）时，f′（x）＜0，此时f（x）在（

1

a

，+∞）上是减函数；
综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数；
当a＞0时，f（x）在（0，

1

a

）上是增函数，f（x）在（

1

a

，+∞）上是减函数；
（Ⅱ） 当f（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，
即a＞

lnx

x

在（0，+∞）上恒成立，
设g（x）=

lnx

x

，则g′（x）=

1-lnx

x2

，
当x∈（0，e）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数；
当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）为减函数．
故当x=e时，g（x）取得极大值，也为最大值，且为

1

e

，
所以a的取值范围是（

1

e

，+∞）；
（Ⅲ）要证当x∈（0，+∞）时，

x+1

ex

(1+x)

1

x

＜e，
 可设t=1+x，t∈（1，+∞），
 只要证t1+

1

t-1

＜et，两边取以e为底的对数，
 得

t

t-1

lnt＜lnet，即lnt＜t-1，
 由（Ⅰ）当a=1时的情况得f（x）=lnx-x的最大值为-1，此时x=1，
 所以当t∈（1，+∞）时lnt-t＜-1，
 即得lnt＜t-1，所以原不等式成立．

点评：本题主要考查导数在函数中的综合应用：求单调区间，求极值，最值等，考查分类讨论和数学中分离参数的思想方法，同时运用分析法证明不等式的方法，以及转换思想，是一道不错的综合题．