Question

设双曲线C的焦点在y轴上，离心率为

2

，其一个顶点的坐标是（0，1）．
（Ⅰ）求双曲线C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l与该双曲线交于A、B两点，且A、B的中点为（2，3），求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由顶点坐标是（0，3），求得a，由已知条件双曲线的离心率为 

2

，列出方程求出c，利用双曲线的三参数的关系，求出b，据双曲线焦点的位置写出双曲线的方程．
（Ⅱ）设出A，B的坐标，代入双曲线方程，两式相减，根据中点的坐标可知x₁+x₂和y₁+y₂的值，进而求得直线AB的斜率，根据点斜式求得直线的方程．

解答： 解：（Ⅰ）∵双曲线的离心率为

2

，一个顶点坐标是（0，1），
∴

c

a

=

2

，a=1且焦点在y轴上，
∴c=

2

∵c²=a²+b²
∴b²=3．
∴双曲线的方程为 y²-

1

3

x²=1．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=4，y₁+y₂=6，
∵y²-

1

3

x²=1，
∴x₁²-3y₁²=-3，x₂²-3y₂²=-3，两式作差可得，
4（x₁-x₂）-18（y₁-y₂）=0，
∴k_AB=

y1-y2

x1-x2

=

2

9

，
∴直线的方程为y-3=

2

9

（x-2），即2x-9y-23=0．

点评：求圆锥曲线的方程关键先判断出焦点的位置、考查双曲线中三参数的关系为c²=a²+b²，涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．