Question

已知函数f（x）=ax-e^x（a＞0）．
（1）若a=

1

2

，求函数f（x）在x=1处的切线方程；
（2）当1≤a≤e+1时，求证：f（x）≤x．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据导数的几何意义，曲线f（x）在x=x₀处的切线方程为y-f（x₀）=f'（x₀）（x-x₀），代入计算即可．
（2）作差并将x-f（x）=-ax+x+e^x看成是关于a的函数g（a），要证明不等式成立，只需证明g（a）≥0对于一切1≤a≤e+1恒成立即可，亦即证明

g(1)≥0 g(e+1)≥0

．

解答： 解：（1）当a=

1

2

时，f(x)=

1

2

x-ex，f(1)=

1

2

-e，
f′(x)=

1

2

-ex，f′(1)=

1

2

-e，
故函数f（x）在x=1处的切线方程为y-

1

2

+e=(

1

2

-e)(x-1)，
即(

1

2

-e)x-y=0
（2）令g（a）=x-f（x）=-ax+x+e^x，
只需证明g（a）≥0在1≤a≤e+1时恒成立，
一方面，g（1）=-x+x+e^x=e^x＞0①
另一方面，g（1+e）=-x（1+e）+x+e^x=e^x-ex，
设h（x）=e^x-ex，则h′（x）=e^x-e，
当x＜1时，h′（x）＜0；当x＞1时，h′（x）＞0．
∴h（x）在（-∞，1）单调递减；在（1，+∞）单调递增．
∴h（x）≥h（1）=e-e•1=0，即g（1+e）≥0②
由①②知，g（a）≥0在1≤a≤e+1时恒成立
故当1≤a≤e+1时，f（x）≤x．

点评：本题中涉及到高考常考内容，即导数的几何意义，一般会以填空选择题的形式呈现，属于容易题；第二问中的证明中，由1≤a≤e+1知，需要将函数看成关于a的函数，再通过相关函数知识解决，学生在处理时，往往容易把它当成关于x的函数，从而没法继续证明．所以，在解题时看根据题目给的条件，分辨哪个是自变量，哪个是参数，是至关重要的．