Question

已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，acosC+

3

csinA-b-c=0．
（Ⅰ）求角A的值；
（Ⅱ）若a=

3

，求

3

3

S+

3

cosBcosC取最大值时S的值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后根据sinC不为0求出A的度数即可；
（Ⅱ）由a，sinA的值，利用正弦定理表示出b与c，再由A的度数求出B+C的度数，用B表示出C，原式第一项利用三角形面积公式化简，再将表示出b与c代入，第二项将表示出的C代入，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可确定出S的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由正弦定理化简已知等式得：sinAcosC+

3

sinCsinA-sinB-sinC=0，
∴sinAcosC+

3

sinCsinA-sin（A+C）-sinC=0，
即sinAcosC+

3

sinCsinA-sinAcosC-cosAsinC-sinC=0，
∴

3

sinCsinA-cosAsinC-sinC=0，
∵sinC≠0，
∴

3

sinA-cosA=1，即2sin（A-

π

6

）=1，
∴sin（A-

π

6

）=

1

2

，
∵-

π

6

＜A-

π

6

＜

5π

6

，
∴A-

π

6

=

π

6

，
则A=

π

3

；
（Ⅱ）由正弦定理，得：

b

sinB

=

c

sinC

=

a

sinA

=

3

3 2

=2，
∴b=2sinB，c=2sinC，且C=

2π

3

-B，
∴

3

3

S+

3

cosBcosC=

3

3

•

1

2

bcsinA+

3

cosBcosC
=

3

3

×

1

2

×2sinB×2sinC×

3

2

+

3

cosBcosC
=sinBsinC+

3

cosBcosC
=sinBsin（

2π

3

-B）+

3

cosBcos（

2π

3

-B）
=

3

4

sin2B+

1

2

sin²B-

3

2

cos²B+

3

4

sin2B
=

3

4

sin2B+

1

4

（1-cos2B）-

3

4

（1+cos2B）+

3

4

sin2B
=

3 +1

4

（

3

sin2B-cos2B）+

1- 3

4

=

3 +1

2

sin（2B-

π

6

）+

1- 3

4

，
∵0＜B＜

2π

3

，∴-

π

6

＜2B-

π

6

＜

7π

6

，
∴当2B-

π

6

=

π

2

，即B=

π

3

时，原式取得最大值，
此时S=

1

2

×（

3

）²×sin

π

3

=

3 3

4

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．