Question

1．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，$f（x）={（\frac{1}{2}）^x}+1$
（1）求函数f（x）的解析式
（2）画出函数的图象，根据图象写出函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）首先，当x=0时，f（0）=0，然后，设x＜0，则-x＞0，然后，借助于函数为奇函数，进行求解即可，
（2）画出函数的图象，由图象可得函数的单调区间．

解答 解：（1）是定义在R上的奇函数∴f（0）=0
设x＜0，又f（x）是奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=-[（$\frac{1}{2}$）^-x+1]=-（2^x+1），
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-x}+1，x＞0}\\{0，x=0}\\{-{2}^{x}-1，x＜0}\end{array}\right.$
（2）函数的图象为

函数f（x）的单调减区间为：（-∞，0），（0，+∞），无单调增区间．

点评 本题重点考查了函数的奇偶性与函数的解析式相结合知识点以及函数图象的画法和识别，涉及到指数的运算性质，属于中档题．