Question

10．在△ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知$\overrightarrow{m}$=（cosB，cosC），$\overrightarrow{n}$=（2a+c，b）且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$．
（1）若b=$\sqrt{13}$，a+c=4，求△ABC的面积．
（2）y=sin²A+sin²C的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据向量垂直的坐标公式进行化简求出B的大小，结合三角形的面积公式进行求解即可．
（2）利用三角函数的倍角公式结合两角和差的正弦公式，以及三角函数的性质进行求解即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，
∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=cosB（2a+c）+bcosC=0，
即2acosB+ccosB+bcosC=0，
由正弦定理得2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0，
即2sinAcosB+sin（B+C）=0，
即2sinAcosB+sinA=0，
∴2cosB+1=0，则cosB=-$\frac{1}{2}$，
则B=$\frac{2π}{3}$，
若b=$\sqrt{13}$，a+c=4，
则b²=a²+c²-2accosB，
即13=（a+c）²-2ac+ac=16-ac，
则ac=3，
则△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×3×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
（2）∵B=$\frac{2π}{3}$，∴A+C=$\frac{π}{3}$，A=$\frac{π}{3}$-C，
则0＜C＜$\frac{π}{3}$，
sin²A+sin²C=$\frac{1-cos2A}{2}$+$\frac{1-cos2C}{2}$
=1-$\frac{1}{2}$×2cos（A+C）cos（A-C）
=1-$\frac{1}{2}$cos（A-C）
=1-$\frac{1}{2}$cos（$\frac{π}{3}$-2C），
∵0＜C＜$\frac{π}{3}$，
∴0＜2C＜$\frac{2π}{3}$，
则-$\frac{2π}{3}$＜-2C＜0，-$\frac{π}{3}$＜$\frac{π}{3}$-2C＜$\frac{π}{3}$，
则$\frac{1}{2}$＜cos（$\frac{π}{3}$-2C）≤1，
即$\frac{1}{4}$＜$\frac{1}{2}$cos（$\frac{π}{3}$-2C）≤$\frac{1}{2}$，
则-$\frac{1}{2}$≤-$\frac{1}{2}$cos（$\frac{π}{3}$-2C）＜$-\frac{1}{4}$，
则$\frac{1}{2}$≤1-$\frac{1}{2}$cos（$\frac{π}{3}$-2C）＜$\frac{3}{4}$
∴sin²A+sin²C的取值范围是[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$）．

点评 本题考查了正弦定理、倍角公式、和差公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．