Question

6．已知f（x）=ax²（a∈R），g（x）=2ln x．
（1）当a=1时，求函数F（x）=f（x）-g（x）的单调区间．
（2）若方程f（x）=g（x）在区间[$\sqrt{2}$，e]上有两个不等解，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用导数求单调区间；
（2）方程f（x）=g（x）在区间[$\sqrt{2}$，e]上有两个不等解?a=$\frac{2lnx}{{x}^{2}}$在区间[$\sqrt{2}$，e]上有两个不等解．
令G（x）=$\frac{2lnx}{{x}^{2}}$，根据G（x）的单调性及图象，求出a的取值范围．

解答 解：（1）当a=1时，F（x）=f（x）-g（x）=x²-2ln x，其定义域为（0，+∞），
∴F′（x）=2x-$\frac{2}{x}$=$\frac{{2（{{x^2}-1}）}}{x}$（x＞0）
当$\frac{{2（{{x^2}-1}）}}{x}$＞0时，x＞1； 当$\frac{{2（{{x^2}-1}）}}{x}$＜0时，0＜x＜1…（4分）
∴当a=1时函数F（x）=f（x）-g（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）．
（2）方程f（x）=g（x）在区间[$\sqrt{2}$，e]上有两个不等解?a=$\frac{2lnx}{{x}^{2}}$在区间[$\sqrt{2}$，e]上有两个不等解．
令G（x）=$\frac{2lnx}{{x}^{2}}$，G′（x）=$\frac{2x（1-2lnx）}{{x}^{4}}=0$，⇒x=$\sqrt{e}$．
∴G（x）在（$\sqrt{2}$，$\sqrt{e}$）上为增函数，在（$\sqrt{e}$，e）上为减函数．
G（x）_max=G（$\sqrt{e}$）=$\frac{1}{e}$，G（e）=$\frac{2}{{e}^{2}}$＜G（2）=$\frac{2ln2}{4}=\frac{ln2}{2}=G（\sqrt{2}）$
∴$\frac{ln2}{2}≤a＜\frac{1}{e}$，∴a的取值范围为[$\frac{ln2}{2}$，$\frac{1}{e}$）

点评 本题考查了导数的综合应用，转化思想是关键，属于压轴题．